Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(1-\cos2x+\sqrt3\sin x=\sqrt3-2\sin(x-\pi).\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}\right]\).
Решение
а) Так как \(\cos2x=1-2\sin^2x\), а \(\sin(x-\pi)=-\sin x\), получим:
\(1-(1-2\sin^2x)+\sqrt3\sin x=\sqrt3+2\sin x.\)
\(2\sin^2x+\sqrt3\sin x=\sqrt3+2\sin x.\)
\(2\sin^2x+(\sqrt3-2)\sin x-\sqrt3=0.\)
Разложим на множители:
\((\sin x-1)(2\sin x+\sqrt3)=0.\)
Отсюда:
\(\sin x=1\) или \(\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}\).
Значит,
\(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или
\(x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или
\(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}\right]\).
Получим:
\(-\frac{14\pi}{3};\ -\frac{13\pi}{3};\ -\frac{7\pi}{2}.\)
Ответ:
а) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) \(-\frac{14\pi}{3};\ -\frac{13\pi}{3};\ -\frac{7\pi}{2}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |