Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(2\cos^2x+3\sin(x+\pi)-3=0.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\).
Решение
а) Так как \(\sin(x+\pi)=-\sin x\), получим:
\(2\cos^2x-3\sin x-3=0.\)
Используем \(\cos^2x=1-\sin^2x\):
\(2(1-\sin^2x)-3\sin x-3=0.\)
\(2\sin^2x+3\sin x+1=0.\)
\((2\sin x+1)(\sin x+1)=0.\)
Отсюда \(\sin x=-\frac12\) или \(\sin x=-1\).
Значит,
\(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или \(x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)
или \(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:
\(\frac{19\pi}{6};\ \frac{7\pi}{2}.\)
Ответ:
а) \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)
б) \(\frac{19\pi}{6};\ \frac{7\pi}{2}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |