Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(9\cdot81^{\cos x}-28\cdot9^{\cos x}+3=0.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]\).
Решение
а) Пусть \(t=9^{\cos x}\). Тогда \(81^{\cos x}=t^2\).
Получаем:
\(9t^2-28t+3=0.\)
\(D=28^2-4\cdot9\cdot3=676.\)
\(t=3\) или \(t=\frac19\).
Значит,
\(9^{\cos x}=3\) или \(9^{\cos x}=\frac19.\)
Так как \(9=3^2\), получим:
\(3^{2\cos x}=3^1\) или \(3^{2\cos x}=3^{-2}.\)
Отсюда \(\cos x=\frac12\) или \(\cos x=-1\).
Значит,
\(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или \(x=-\frac{\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)
или \(x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]\) получаем:
\(3\pi;\ \frac{11\pi}{3}.\)
Ответ:
а) \(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k;\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi m;\quad x=\pi+2\pi n,\quad k,m,n\in\mathbb Z.\)
б) \(3\pi;\ \frac{11\pi}{3}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |