Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(2\sin^2x+\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\cos x.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\).
Решение
а) Используем формулу синуса суммы:
\(\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\sin x+cos x.\)
Тогда:
\(2\sin^2x+sin x+cos x=cos x.\)
\(2\sin^2x+sin x=0.\)
\(\sin x(2\sin x+1)=0.\)
Отсюда \(\sin x=0\) или \(\sin x=-\frac12\).
Значит,
\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или \(x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[-2\pi;-\frac{\pi}{2}\right]\) получаем:
\(-2\pi;\ -\pi;\ -\frac{5\pi}{6}.\)
Ответ:
а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) \(-2\pi;\ -\pi;\ -\frac{5\pi}{6}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |