Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(49^{\sin x}=\left(\frac17\right)^{-\sqrt2\sin2x}.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\).
Решение
а) Приведём обе части к основанию \(7\):
\(49^{\sin x}=7^{2\sin x}\),
\(\left(\frac17\right)^{-\sqrt2\sin2x}=7^{\sqrt2\sin2x}.\)
Получаем:
\(7^{2\sin x}=7^{\sqrt2\sin2x}.\)
Значит,
\(2\sin x=\sqrt2\sin2x.\)
Используем \(\sin2x=2\sin x\cos x\):
\(2\sin x=2\sqrt2\sin x\cos x.\)
\(2\sin x(1-\sqrt2\cos x)=0.\)
Отсюда \(\sin x=0\) или \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\).
Значит,
\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или \(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:
\(2\pi;\ \frac{9\pi}{4};\ 3\pi.\)
Ответ:
а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)
б) \(2\pi;\ \frac{9\pi}{4};\ 3\pi.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |