Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(16^{\cos x}+16^{\cos(\pi-x)}=\frac{17}{4}.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]\).
Решение
а) Так как \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), получим:
\(16^{\cos x}+16^{-\cos x}=\frac{17}{4}.\)
Пусть \(t=16^{\cos x}\), тогда \(t>0\) и:
\(t+\frac1t=\frac{17}{4}.\)
\(4t^2-17t+4=0.\)
Отсюда \(t=4\) или \(t=\frac14\).
Значит, \(16^{\cos x}=4\) или \(16^{\cos x}=\frac14\), поэтому
\(\cos x=\frac12\) или \(\cos x=-\frac12\).
Тогда:
\(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или
\(x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]\) получаем:
\(\frac{4\pi}{3};\ \frac{5\pi}{3};\ \frac{7\pi}{3}.\)
Ответ:
а) \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k;\quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad k,n\in\mathbb Z.\)
б) \(\frac{4\pi}{3};\ \frac{5\pi}{3};\ \frac{7\pi}{3}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |