Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(2\sin x\cdot\cos^2x+\sqrt3=\sqrt3\sin^2x.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{7\pi}{2};5\pi\right]\).
Решение
а) Перенесём все слагаемые в левую часть:
\(2\sin x\cos^2x+\sqrt3-\sqrt3\sin^2x=0.\)
Так как \(\cos^2x=1-\sin^2x\), получим:
\(2\sin x(1-\sin^2x)+\sqrt3(1-\sin^2x)=0.\)
\((1-\sin^2x)(2\sin x+\sqrt3)=0.\)
Отсюда \(\sin x=1\), или \(\sin x=-1\), или \(\sin x=-\frac{\sqrt3}{2}\).
Значит,
\(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)
или \(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)
или \(x=-\frac{\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)
или \(x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi l,\ l\in\mathbb Z.\)
б) На отрезке \(\left[\frac{7\pi}{2};5\pi\right]\) получаем:
\(\frac{7\pi}{2};\ \frac{11\pi}{3};\ \frac{9\pi}{2}.\)
Ответ:
а) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k;\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi m;\quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi l,\quad n,k,m,l\in\mathbb Z.\)
б) \(\frac{7\pi}{2};\ \frac{11\pi}{3};\ \frac{9\pi}{2}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |