Показательные уравнения · Открытый банк заданий ФИПИ · № 54D407
Задание №13. Уравнения
Часть 2 · повышенная · Развернутый · Макс. балл: 2
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(16^{\sin x}-6\cdot4^{\sin x}+8=0.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}\right]\).
Это задание с развернутым ответом. Сначала посмотрите решение, затем выставьте самооценку.
Решение
а) Пусть \(t=4^{\sin x}\). Тогда \(16^{\sin x}=t^2\).
Получим \(t^2-6t+8=0\), откуда \(t=2\) или \(t=4\).
Значит, \(4^{\sin x}=2\) или \(4^{\sin x}=4\).
Отсюда \(\sin x=\frac12\) или \(\sin x=1\).
Тогда \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\), или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), или \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\), где \(k,n\in\mathbb Z\).
б) На отрезке \(\left[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:
\(-\frac{23\pi}{6};\ -\frac{7\pi}{2}.\)
Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k;\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k;\ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\). б) \(-\frac{23\pi}{6};\ -\frac{7\pi}{2}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Войдите, чтобы сохранять самооценку по заданиям второй части.
Правильный ответ: а) x=π/6+2πk; x=5π/6+2πk; x=π/2+2πn. б) -23π/6; -7π/2.