Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(2\cos x-2\sqrt3\cos(-x)-4\sin^2x=\sqrt3-4.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\).
Решение
а) Так как \(\cos(-x)=\cos x\), получим:
\(2\cos x-2\sqrt3\cos x-4\sin^2x-\sqrt3+4=0.\)
Используем \(\sin^2x=1-\cos^2x\):
\(4\cos^2x+(2-2\sqrt3)\cos x-\sqrt3=0.\)
Разложим на множители:
\((2\cos x+1)(2\cos x-\sqrt3)=0.\)
Отсюда \(\cos x=-\frac12\) или \(\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\).
Значит, \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n\), или \(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n\), или \(x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k\), где \(n,k\in\mathbb Z\).
б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:
\(\frac{13\pi}{6};\ \frac{8\pi}{3};\ \frac{10\pi}{3}.\)
Ответ: а) \(x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n;\ x=\frac{4\pi}{3}+2\pi n;\ x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi k\). б) \(\frac{13\pi}{6};\ \frac{8\pi}{3};\ \frac{10\pi}{3}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |