Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(\frac{\log_2^2(\sin x)+\log_2(\sin x)}{2\cos x+\sqrt3}=0.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]\).
Решение
а) Область определения: \(\sin x>0\), \(2\cos x+\sqrt3\ne0\).
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:
\(\log_2^2(\sin x)+\log_2(\sin x)=0.\)
Пусть \(t=\log_2(\sin x)\). Тогда:
\(t^2+t=0\), откуда \(t=0\) или \(t=-1\).
Значит, \(\sin x=1\) или \(\sin x=\frac12\).
При \(\sin x=1\):
\(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)
При \(\sin x=\frac12\):
\(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\).
Но при \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\) знаменатель равен нулю, поэтому эти корни исключаются.
Итак,
\(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\) или \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\), где \(n,k\in\mathbb Z\).
б) На отрезке \(\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]\) получаем:
\(\frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{2}.\)
Ответ:
а) \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;\quad x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\quad n,k\in\mathbb Z.\)
б) \(\frac{\pi}{6};\ \frac{\pi}{2}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |