Показательные уравнения · Открытый банк заданий ФИПИ · № 617B18
Задание №13. Уравнения
Часть 2 · повышенная · Развернутый · Макс. балл: 2
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(8\cdot16^{\sin^2x}-2\cdot4^{\cos2x}=63.\)
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{7\pi}{2};5\pi\right]\).
Это задание с развернутым ответом. Сначала посмотрите решение, затем выставьте самооценку.
Решение
а) Пусть \(u=16^{\sin^2x}\). Тогда
\(4^{\cos2x}=4^{1-2\sin^2x}=\frac{4}{16^{\sin^2x}}=\frac4u.\)
Получаем:
\(8u-2\cdot\frac4u=63.\)
\(8u^2-63u-8=0.\)
\(D=65^2\), поэтому \(u=8\). Отрицательный корень не подходит.
Значит, \(16^{\sin^2x}=8\).
\(2^{4\sin^2x}=2^3\), откуда \(\sin^2x=\frac34\).
Следовательно, \(\sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2}\).
б) На отрезке \(\left[\frac{7\pi}{2};5\pi\right]\) получаем:
\(\frac{11\pi}{3};\ \frac{13\pi}{3}.\)
Ответ:
а) \(\sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.\)
б) \(\frac{11\pi}{3};\ \frac{13\pi}{3}.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Войдите, чтобы сохранять самооценку по заданиям второй части.
Правильный ответ: а) sin x=±√3/2. б) 11π/3; 13π/3.