Задание №13. Уравнения
Дайте развёрнутый ответ.
а) Решите уравнение
\(2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-2\sqrt3\cos^2x=\cos x-2\sqrt3.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]\).
Решение
а) Используем формулу синуса суммы:
\(2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\sin x+cos x.\)
Тогда:
\(\sqrt3\sin x+cos x-2\sqrt3\cos^2x=\cos x-2\sqrt3.\)
Сократим \(\cos x\) и разделим на \(\sqrt3\):
\(\sin x-2\cos^2x+2=0.\)
Так как \(\cos^2x=1-sin^2x\), получим:
\(\sin x-2(1-sin^2x)+2=0.\)
\(2\sin^2x+sin x=0.\)
\(\sin x(2\sin x+1)=0.\)
Отсюда \(\sin x=0\) или \(\sin x=-\frac12\).
б) На отрезке \(\left[-\frac{5\pi}{2};-\pi\right]\) получаем:
\(-\frac{13\pi}{6};\ -2\pi;\ -\pi.\)
Ответ:
а) \(\sin x=0\) или \(\sin x=-\frac12.\)
б) \(-\frac{13\pi}{6};\ -2\pi;\ -\pi.\)
Критерии оценивания
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
|
Обоснованно получен верный ответ в пункте а ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а и пункта б. |
1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |