Задание №13. Уравнения

а) Так как \(\sin(x+\pi)=-\sin x\), получаем:

\(16^{\sin x}+16^{-\sin x}=\frac{17}{4}.\)

Пусть \(t=16^{\sin x}\). Тогда \(t>0\) и:

\(t+\frac1t=\frac{17}{4}.\)

\(4t^2-17t+4=0.\)

Отсюда \(t=4\) или \(t=\frac14\).

Значит, \(16^{\sin x}=4\) или \(16^{\sin x}=\frac14\).

Так как \(16=2^4\), получаем:

\(\sin x=\frac12\) или \(\sin x=-\frac12\).

б) На отрезке \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\) получаем:

\(\frac{11\pi}{6};\ \frac{13\pi}{6};\ \frac{17\pi}{6}.\)

Ответ:

а) \(\sin x=\pm\frac12.\)

б) \(\frac{11\pi}{6};\ \frac{13\pi}{6};\ \frac{17\pi}{6}.\)

а) Так как знаменатель не равен нулю, имеем \(\sin x>0\).

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

\(4^{\sin2x}=2^{2\sqrt3\sin x}.\)

Так как \(4=2^2\), получаем:

\(2^{2\sin2x}=2^{2\sqrt3\sin x}.\)

Следовательно, \(\sin2x=\sqrt3\sin x\).

\(2\sin x\cos x=\sqrt3\sin x.\)

Так как \(\sin x>0\), то \(\sin x\ne0\), поэтому

\(2\cos x=\sqrt3\), откуда \(\cos x=\frac{\sqrt3}{2}\).

С учётом условия \(\sin x>0\):

\(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[-\frac{13\pi}{2};-5\pi\right]\) получаем:

\(-\frac{35\pi}{6}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) \(-\frac{35\pi}{6}.\)

а) Пусть \(u=16^{\sin^2x}\). Тогда

\(4^{\cos2x}=4^{1-2\sin^2x}=\frac4u.\)

Получаем:

\(4u-6\cdot\frac4u=29.\)

\(4u^2-29u-24=0.\)

\(D=35^2\), поэтому \(u=8\). Отрицательный корень не подходит.

Значит, \(16^{\sin^2x}=8\), откуда

\(\sin^2x=\frac34\).

Следовательно, \(\sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2}\).

б) На отрезке \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\) получаем:

\(\frac{5\pi}{3};\ \frac{7\pi}{3};\ \frac{8\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(\sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.\)

б) \(\frac{5\pi}{3};\ \frac{7\pi}{3};\ \frac{8\pi}{3}.\)

а) Пусть \(u=16^{\sin^2x}\). Тогда

\(4^{\cos2x}=4^{1-2\sin^2x}=\frac{4}{16^{\sin^2x}}=\frac4u.\)

Получаем:

\(8u-2\cdot\frac4u=63.\)

\(8u^2-63u-8=0.\)

\(D=65^2\), поэтому \(u=8\). Отрицательный корень не подходит.

Значит, \(16^{\sin^2x}=8\).

\(2^{4\sin^2x}=2^3\), откуда \(\sin^2x=\frac34\).

Следовательно, \(\sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2}\).

б) На отрезке \(\left[\frac{7\pi}{2};5\pi\right]\) получаем:

\(\frac{11\pi}{3};\ \frac{13\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(\sin x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.\)

б) \(\frac{11\pi}{3};\ \frac{13\pi}{3}.\)

а) Так как знаменатель не равен нулю, имеем \(\sin x>0\).

Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю:

\(9^{\sin2x}=3^{2\sqrt2\sin x}.\)

Так как \(9=3^2\), получаем:

\(3^{2\sin2x}=3^{2\sqrt2\sin x}.\)

Следовательно, \(\sin2x=\sqrt2\sin x\).

\(2\sin x\cos x=\sqrt2\sin x.\)

Так как \(\sin x>0\), то \(\sin x\ne0\), поэтому

\(2\cos x=\sqrt2\), откуда \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\).

С учётом условия \(\sin x>0\):

\(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\frac{7\pi}{2};5\pi\right]\) получаем:

\(\frac{17\pi}{4}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{17\pi}{4}.\)

а) Пусть \(t=4^{\sin x}\). Тогда \(16^{\sin x}=t^2\).

Получим \(t^2-6t+8=0\), откуда \(t=2\) или \(t=4\).

Значит, \(4^{\sin x}=2\) или \(4^{\sin x}=4\).

Отсюда \(\sin x=\frac12\) или \(\sin x=1\).

Тогда \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\), или \(x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\), или \(x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\), где \(k,n\in\mathbb Z\).

б) На отрезке \(\left[-5\pi;-\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:

\(-\frac{23\pi}{6};\ -\frac{7\pi}{2}.\)

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{6}+2\pi k;\ x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k;\ x=\frac{\pi}{2}+2\pi n\). б) \(-\frac{23\pi}{6};\ -\frac{7\pi}{2}.\)

а) Так как \(\sin(x+\pi)=-\sin x\), а \(\sin(\pi-x)=\sin x\), получим:

\(\left(\frac{1}{49}\right)^{-\sin x}=7^{2\sqrt3\sin x}.\)

Левая часть:

\(\left(7^{-2}\right)^{-\sin x}=7^{2\sin x}.\)

Следовательно,

\(7^{2\sin x}=7^{2\sqrt3\sin x}.\)

Так как основания равны и больше нуля, получаем:

\(2\sin x=2\sqrt3\sin x.\)

\((2-2\sqrt3)\sin x=0.\)

Значит, \(\sin x=0\), откуда

\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[3\pi;\frac{9\pi}{2}\right]\) получаем:

\(3\pi;\ 4\pi.\)

Ответ:

а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) \(3\pi;\ 4\pi.\)

а) Так как \(\cos(\pi-x)=-\cos x\), получим:

\(16^{\cos x}+16^{-\cos x}=\frac{17}{4}.\)

Пусть \(t=16^{\cos x}\), тогда \(t>0\) и:

\(t+\frac1t=\frac{17}{4}.\)

\(4t^2-17t+4=0.\)

Отсюда \(t=4\) или \(t=\frac14\).

Значит, \(16^{\cos x}=4\) или \(16^{\cos x}=\frac14\), поэтому

\(\cos x=\frac12\) или \(\cos x=-\frac12\).

Тогда:

\(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]\) получаем:

\(\frac{4\pi}{3};\ \frac{5\pi}{3};\ \frac{7\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi k;\quad x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad k,n\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{4\pi}{3};\ \frac{5\pi}{3};\ \frac{7\pi}{3}.\)

а) Приведём обе части к основанию \(7\):

\(49^{\sin x}=7^{2\sin x}\),

\(\left(\frac17\right)^{-\sqrt2\sin2x}=7^{\sqrt2\sin2x}.\)

Получаем:

\(7^{2\sin x}=7^{\sqrt2\sin2x}.\)

Значит,

\(2\sin x=\sqrt2\sin2x.\)

Используем \(\sin2x=2\sin x\cos x\):

\(2\sin x=2\sqrt2\sin x\cos x.\)

\(2\sin x(1-\sqrt2\cos x)=0.\)

Отсюда \(\sin x=0\) или \(\cos x=\frac{\sqrt2}{2}\).

Значит,

\(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z,\)

или \(x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[2\pi;\frac{7\pi}{2}\right]\) получаем:

\(2\pi;\ \frac{9\pi}{4};\ 3\pi.\)

Ответ:

а) \(x=\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad x=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{4}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z.\)

б) \(2\pi;\ \frac{9\pi}{4};\ 3\pi.\)

а) Пусть \(t=9^{\cos x}\). Тогда \(81^{\cos x}=t^2\).

Получаем:

\(9t^2-28t+3=0.\)

\(D=28^2-4\cdot9\cdot3=676.\)

\(t=3\) или \(t=\frac19\).

Значит,

\(9^{\cos x}=3\) или \(9^{\cos x}=\frac19.\)

Так как \(9=3^2\), получим:

\(3^{2\cos x}=3^1\) или \(3^{2\cos x}=3^{-2}.\)

Отсюда \(\cos x=\frac12\) или \(\cos x=-1\).

Значит,

\(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или \(x=-\frac{\pi}{3}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или \(x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) На отрезке \(\left[\frac{5\pi}{2};4\pi\right]\) получаем:

\(3\pi;\ \frac{11\pi}{3}.\)

Ответ:

а) \(x=\frac{\pi}{3}+2\pi k;\quad x=-\frac{\pi}{3}+2\pi m;\quad x=\pi+2\pi n,\quad k,m,n\in\mathbb Z.\)

б) \(3\pi;\ \frac{11\pi}{3}.\)

а) Пусть \(t=9^{\sin x}\). Тогда \(81^{\sin x}=9^{2\sin x}=t^2\).

Получим квадратное уравнение:

\(27t^2-12t+1=0.\)

Найдём корни:

\(D=(-12)^2-4\cdot27\cdot1=144-108=36.\)

\(t=\frac{12\pm6}{54}.\)

Отсюда:

\(t=\frac13\) или \(t=\frac19\).

Вернёмся к замене:

\(9^{\sin x}=\frac13\) или \(9^{\sin x}=\frac19\).

Так как \(9=3^2\), получим:

\(3^{2\sin x}=3^{-1}\) или \(3^{2\sin x}=3^{-2}\).

Значит,

\(\sin x=-\frac12\) или \(\sin x=-1\).

Отсюда:

\(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z,\)

или

\(x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку \(\left[\frac{3\pi}{2};3\pi\right]\).

Получим:

\(\frac{3\pi}{2};\ \frac{11\pi}{6}.\)

Ответ:

а) \(x=-\frac{\pi}{6}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi m,\ m\in\mathbb Z;\quad x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.\)

б) \(\frac{3\pi}{2};\ \frac{11\pi}{6}.\)